關於合成十

合成十1 加法
合成十2 減法

如果現在要計算 997+5 的結果，大家會用什麼方法呢？我們的教育又怎麼教的呢？如果不是數學教育的教授特別提出點數策略，我永遠也不會注意到這個有多重要吧。

點數（ㄕㄨˇ），就是一個個數上去，如果要算997+5，從997往上數五個整數，998、999、1000、1001、1002，答案是1002，這只要會數數字，乃最基本、最自然的解題策略，可是大家都會說這很累、沒有效率，所以我們的數學課就教加法直式，教進位，減法再教借位，孩子只需要把腦力放在一位數與一位數的運算。

可是這樣好嗎？

我以前從沒想過這個問題，總認為數學就是學新的東西，學更有效率的方法或公式，來解決更多問題，直到教授說：

「現在學生的數感這麼弱，是我們大人揚棄點數策略造成的。」

我才發現基本解題策略的重要性，不是要談小學五年級巧算那些技巧，只是單純的數數字問題，很多學生還是會寫出直式來，這已經有點本末倒置了，直式是較有效率的解題策略沒錯，但只要是算則就會省略細節，對數學能力的培養其實是有點不利的。直式讓學生過於著重於一位數與一位數的加或減，換句話說變成 1+1=2、1+2=3、1+3=4、……、9+7=16、9+8=17、9+9=18 九九加法表的背誦，孩子很難有原來數學問題中數量大小的概念。什麼都用直式解決，很容易出現僵化的反應動作，看過很多孩子要計算諸如 53+4、182+7、36-5 簡單的加減問題，第一個反應竟然是要寫直式，然後還沒抄完就發現其實不需要。如果他們是小學二、三年級那可以算是練習不夠，對數量變化還不夠熟稔，但我看過的例子很多是已經國中生了。

很多家長嚴格要求孩子不可以比手指頭，我覺得這是很莫名其妙的。孩子寫直式時會比手指頭，很有可能他是在點數，這才是腦袋有在運轉，有在活化。我觀察到很多資優生或是表現比大部份學生好的孩子，都會比手指頭，為什麼不能比？數學是一個將數量用數字表示、將數量變化用運算式子記下、其實是非常抽象的學問，要從具體物出發，慢慢建立起能處理抽象運算能力的，而比手指頭就是幫助自己計算的具體物，記憶力強的人可以直接腦中運算，不需要寫下或比手指頭，但辦不到的又何必被要求不能這樣做呢？成長是需要時間的，不是嗎？

合成十的算法，很多人看了後跟我說這不就是心算嗎？我沒學過心算，這是現在小學一年級課內就有教的，只是與直式結合這樣的作法，似乎不是每個孩子都會學到（也可能都學過，但有人忘了），所以我特別作了介紹。雖然重點是用在直式上，說起來還是一位數與一位數的計算，但多了一些些點數的心思在裡面，多練習數數會更加有數字的概念，會更有數感。以下不知道有沒有學理的支持，數學教育的教授說提高孩子數感的作法，並不是一直算很多的直式練習題，而是要他在某個區間中點數，例如「從628開始往下數出7個數」，即使只是不用紙筆的默唸「629、630、631、632、633、634、635」，久而久之孩子會對整數的連續與進位更清楚，進而在後來的分數與小數有好表現。

合成十，其實就是補數的概念，如果對於記 5+5、5+6、5+7、...、9+7、9+8、9+9 比較吃力的人，可以考慮選擇補數的做法，只要記 5+5、6+4、7+3、8+2、9+1 加起來會成為10的這五個就好，剩下的再靠點數完成。有人說所花時間不是差不多嗎？確實是差不多，所以要不要用這方法見仁見智，覺得不錯和覺得普通的人差不多一半一半，如果覺得一般的加減法不夠快的人，可以試著用合成十來想，不管是哪一種方法，事後的練習都是不可少的。

用數字畫圖

Nonograms 擁有很多不同的名字，較為常用的還有 Picross、Griddles、Illust Logic 等等，日本則是お絵かきロジック、ピクロス，這遊戲是由日本人西尾徹也於1987年發明，藉由兩排數字來將版圖中的顏色定位出來，一般玩法是黑與白兩種來構圖，近來還有多色的玩法。

起立坐下

Light-Bot 程式設計師的思維

Light-Bot是一個仿程式設計、操縱機器人去點燈的Flash遊戲。現在已出到二代，二代更為精緻。

合成十2 減法

合成十1 加法

除法6 商數是多位數

除法5 商數是三位數

マモノスイーパー有RPG要素的踩地雷

マモノスイーパー是日本人Hojamaka作的仿踩地雷flash遊戲，殺時間非常不錯，還可以練一些數字計算和推理，因為有打怪獲取經驗值來升級的等級系統，讓踩地雷這小遊戲增加不少樂趣。

除法4 商數是二位數

關於除法

除法1 連減
除法2 平分
除法3 比較和直式
除法4 商數是二位數
除法5 商數是三位數
除法6 商數是多位數

標題應該說「關於整數除法」，就是小三第一次接觸的除法。

如果問人，舉一個會用到「25÷4＝6…1」的數學問題，最有可能的是「25顆蘋果，平分成4份，每份是6顆，還剩下1顆」，幾乎不會出現「25顆蘋果，每4顆一數，可以數6次，還剩下1顆」，也就是平分的概念深植人心，而連減的地位稍微遜色一點。

這情況對大人和小孩都是一樣的，因為除法牽涉到分數，「平分」的比重就變大了，所以我們的教育變成只強調平分，但我認為連減不能忘，其實他們有專有名詞，連減概念的除法叫「包含除」，平分概念的除法叫「等分除」，數學教育上建議不要和學生講這兩個，以免造成混淆，但我認為連減與平分的觀念一定要釐清，平分的概念雖然較為重要，但不代表連減在後面的單元就被不重視了，像我在＜除法3 比較和直式＞舉的星期例子，這對小三的學生稍微難一點，是一個在五六年級很常見的怎樣解題單元的問題，每個學生都知道要除以7、看餘數，但鮮少人可以說的出理由，因為一直想著平分…平分…當然是想不出個所以然。

還有一個是很常見的就在小六的速率單元，三個必背公式大家都知道，其實兩個除法的公式中有一個是連減，一個是平分。從小就有在釐清兩種除法的學生，公式不用背也知道怎麼解題，例如：

用每分鐘125公尺的速度跑完1000公尺，要多少分鐘？

小六學生都知道「時間＝距離÷速率」，所以會算1000÷125＝8。瞭解除法的學生會用「1000公尺的第一個125公尺要1分鐘，第二個125公尺再1分鐘……，所以我要知道『將1000公尺每125公尺一數，可以數幾次』？」他自然而然就知道該算什麼了。

24公里花了4小時，時速是多少公里？

這是另外一個問題，算速率，搬出公式就是「速率＝距離÷時間」，要算24÷4＝6。而瞭解的人會思考「在這4小時中，每一小時走的都一樣，走出來的24公里是4份一樣的距離累積來的，所以我想知道『把24公里平分成4等分，每一等分是多遠』？」

我不是說不用背公式，而是懂基礎觀念的話，公式可以得心應手地記下來，即使忘了也能解題，只是速度稍慢而已。如果不懂，迫於時間（一方面要考試驗收學習成效，一方面後面有新的單元需要這裡的知識）學生只能強記，這裡強記讓後面更加不懂，永遠的惡性循環。除法用到連減的情況不算少，小五小六因倍數那邊的應用問題更不用說了，其實到國高中即使是分數小數代數複雜的除法，也還是有連減的存在，我個人認為釐清這兩種除法真的是非常重要的事情。

除法3 比較和直式

關於雞兔同籠

雞兔同籠

唸小學時，當時並沒有雞兔同籠，那是國立編譯館的時代，還記得老師在小六等畢業時於黑板寫了一題雞兔同籠，全班都不會解，接著老師用國中的x、y解一遍，當然對那時候只會用（　）解未知數的我們來說，那是很神奇的方法，我們連x都不會用呢！

可是現在小學有雞兔同籠了，剛出社會教書時我以為這是資優的範疇，結果卻是高年級課內的，而且不是用x解，是像我畫的，用假設的作法。以大人的眼光來看，看懂後會認為這方法挺不錯的，比起用x解未知數，這種方法比較有理解與思考的成份在裡面，但也有大人非常不認同這種作法，認為是資優競賽的特殊題型，背特殊解法的填鴨式學習。

我覺得會不會走到死背解法的教學結果，往往不是老師的教法，也不是教材怎麼編，所可以影響的，永遠決定在學生一念之間。現在課本都寫的很精美，我畫的內容其實課本都有，只是不是畫的而是用寫的（這也是為什麼我要畫出來的原因），每個老師在台上也講得口沫橫飛，然而聰明的學生會自己歸納出公式作法。

「以後這種題目是不是 (腳數－頭數×2)÷2 就是兔子了？」

如果是套公式，我認為根本就失去教材放入這些題目的原意了。不認同套公式的老師們只能一直擋住小朋友們，告訴他們題目改變就會錯，或是改成不是2、4的也會錯。程度不差的孩子還懂問題在哪，來得及改掉壞習慣，剩下的就沒多少時間讓他反覆觀察理解了，家長或老師可能乾脆教他x來解未知數，打算一勞永逸。

用x不是不好，畢竟解方程是以後國中的重要解題策略，那些小學限制不准用x的老師，多少是希望學生們用假設的解法，去觀察其中數與量的變化，不是只有求得答案拿到分數。我是支持這種假設解法的，對線性的應用問題是一個很好的解法，運用的也是很重要的觀念，就是觀察量與量的變化。至於那種倒扣的雞兔同籠題目，很有可能影響以後國中列式，這等有介紹此類題型時我再補上吧。

除法2 平分

除法1 連減

雞兔同籠