關於除法

除法1 連減
除法2 平分
除法3 比較和直式
除法4 商數是二位數
除法5 商數是三位數
除法6 商數是多位數

標題應該說「關於整數除法」，就是小三第一次接觸的除法。

如果問人，舉一個會用到「25÷4＝6…1」的數學問題，最有可能的是「25顆蘋果，平分成4份，每份是6顆，還剩下1顆」，幾乎不會出現「25顆蘋果，每4顆一數，可以數6次，還剩下1顆」，也就是平分的概念深植人心，而連減的地位稍微遜色一點。

這情況對大人和小孩都是一樣的，因為除法牽涉到分數，「平分」的比重就變大了，所以我們的教育變成只強調平分，但我認為連減不能忘，其實他們有專有名詞，連減概念的除法叫「包含除」，平分概念的除法叫「等分除」，數學教育上建議不要和學生講這兩個，以免造成混淆，但我認為連減與平分的觀念一定要釐清，平分的概念雖然較為重要，但不代表連減在後面的單元就被不重視了，像我在＜除法3 比較和直式＞舉的星期例子，這對小三的學生稍微難一點，是一個在五六年級很常見的怎樣解題單元的問題，每個學生都知道要除以7、看餘數，但鮮少人可以說的出理由，因為一直想著平分…平分…當然是想不出個所以然。

還有一個是很常見的就在小六的速率單元，三個必背公式大家都知道，其實兩個除法的公式中有一個是連減，一個是平分。從小就有在釐清兩種除法的學生，公式不用背也知道怎麼解題，例如：

用每分鐘125公尺的速度跑完1000公尺，要多少分鐘？

小六學生都知道「時間＝距離÷速率」，所以會算1000÷125＝8。瞭解除法的學生會用「1000公尺的第一個125公尺要1分鐘，第二個125公尺再1分鐘……，所以我要知道『將1000公尺每125公尺一數，可以數幾次』？」他自然而然就知道該算什麼了。

24公里花了4小時，時速是多少公里？

這是另外一個問題，算速率，搬出公式就是「速率＝距離÷時間」，要算24÷4＝6。而瞭解的人會思考「在這4小時中，每一小時走的都一樣，走出來的24公里是4份一樣的距離累積來的，所以我想知道『把24公里平分成4等分，每一等分是多遠』？」

我不是說不用背公式，而是懂基礎觀念的話，公式可以得心應手地記下來，即使忘了也能解題，只是速度稍慢而已。如果不懂，迫於時間（一方面要考試驗收學習成效，一方面後面有新的單元需要這裡的知識）學生只能強記，這裡強記讓後面更加不懂，永遠的惡性循環。除法用到連減的情況不算少，小五小六因倍數那邊的應用問題更不用說了，其實到國高中即使是分數小數代數複雜的除法，也還是有連減的存在，我個人認為釐清這兩種除法真的是非常重要的事情。

除法3 比較和直式

關於雞兔同籠

雞兔同籠

唸小學時，當時並沒有雞兔同籠，那是國立編譯館的時代，還記得老師在小六等畢業時於黑板寫了一題雞兔同籠，全班都不會解，接著老師用國中的x、y解一遍，當然對那時候只會用（　）解未知數的我們來說，那是很神奇的方法，我們連x都不會用呢！

可是現在小學有雞兔同籠了，剛出社會教書時我以為這是資優的範疇，結果卻是高年級課內的，而且不是用x解，是像我畫的，用假設的作法。以大人的眼光來看，看懂後會認為這方法挺不錯的，比起用x解未知數，這種方法比較有理解與思考的成份在裡面，但也有大人非常不認同這種作法，認為是資優競賽的特殊題型，背特殊解法的填鴨式學習。

我覺得會不會走到死背解法的教學結果，往往不是老師的教法，也不是教材怎麼編，所可以影響的，永遠決定在學生一念之間。現在課本都寫的很精美，我畫的內容其實課本都有，只是不是畫的而是用寫的（這也是為什麼我要畫出來的原因），每個老師在台上也講得口沫橫飛，然而聰明的學生會自己歸納出公式作法。

「以後這種題目是不是 (腳數－頭數×2)÷2 就是兔子了？」

如果是套公式，我認為根本就失去教材放入這些題目的原意了。不認同套公式的老師們只能一直擋住小朋友們，告訴他們題目改變就會錯，或是改成不是2、4的也會錯。程度不差的孩子還懂問題在哪，來得及改掉壞習慣，剩下的就沒多少時間讓他反覆觀察理解了，家長或老師可能乾脆教他x來解未知數，打算一勞永逸。

用x不是不好，畢竟解方程是以後國中的重要解題策略，那些小學限制不准用x的老師，多少是希望學生們用假設的解法，去觀察其中數與量的變化，不是只有求得答案拿到分數。我是支持這種假設解法的，對線性的應用問題是一個很好的解法，運用的也是很重要的觀念，就是觀察量與量的變化。至於那種倒扣的雞兔同籠題目，很有可能影響以後國中列式，這等有介紹此類題型時我再補上吧。

除法2 平分

除法1 連減